Quantum Zeta Epiphany – Organisasi Teknologi

Angka seperti , e dan sering muncul di tempat yang tidak terduga dalam sains dan matematika. Segitiga Pascal dan deret Fibonacci juga tampak tersebar luas secara misterius. Lalu ada fungsi zeta Riemann, fungsi yang menipu secara langsung yang telah membingungkan para matematikawan sejak abad ke-19. Kebingungan yang paling terkenal, hipotesis Riemann, mungkin merupakan pertanyaan terbesar yang belum terpecahkan dalam matematika, dengan Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah $1 juta untuk bukti yang benar.

Fisikawan UC Santa Barbara Berikan Rem(tautan bersifat eksternal) percaya dia memiliki pendekatan baru untuk menjelajahi keanehan fungsi zeta. Dia telah menemukan analog yang menerjemahkan banyak sifat penting fungsi ke dalam teori medan kuantum. Ini berarti bahwa para peneliti sekarang dapat memanfaatkan alat-alat dari bidang fisika ini untuk menyelidiki fungsi zeta yang penuh teka-teki dan anehnya ada di mana-mana. Karyanya bahkan bisa mengarah pada bukti hipotesis Riemann. Remmen menjabarkan pendekatannya dalam jurnal Surat Tinjauan Fisik(tautan bersifat eksternal).

“Fungsi zeta Riemann adalah fungsi matematika yang terkenal dan misterius yang muncul dalam teori bilangan di semua tempat,” kata Remmen, seorang sarjana pascadoktoral di Institut Kavli untuk Fisika Teoritis UCSB. “Ini telah dipelajari selama lebih dari 150 tahun.”

Perspektif luar

Remmen umumnya tidak berhasil memecahkan pertanyaan terbesar dalam matematika. Dia biasanya sibuk menjawab pertanyaan-pertanyaan terbesar dalam fisika. Sebagai rekan fisika fundamental di UC Santa Barbara, ia biasanya mencurahkan perhatiannya pada topik-topik seperti fisika partikel, gravitasi kuantum, teori string, dan lubang hitam. “Dalam teori energi tinggi modern, fisika skala terbesar dan skala terkecil sama-sama menyimpan misteri terdalam,” katanya.

Salah satu spesialisasinya adalah teori medan kuantum, yang ia gambarkan sebagai “kemenangan 20”^th fisika abad.” Kebanyakan orang telah mendengar tentang mekanika kuantum (partikel subatom, ketidakpastian, dll.) dan relativitas khusus (pelebaran waktu, E=mc², Dan seterusnya). “Tetapi dengan teori medan kuantum, fisikawan menemukan cara menggabungkan relativitas khusus dan mekanika kuantum ke dalam deskripsi bagaimana partikel bergerak pada atau mendekati kecepatan cahaya berperilaku,” jelasnya.

Teori medan kuantum bukanlah teori tunggal. Ini lebih seperti kumpulan alat yang dapat digunakan para ilmuwan untuk menggambarkan serangkaian interaksi partikel.

Remmen menyadari salah satu konsep di dalamnya berbagi banyak karakteristik dengan fungsi zeta Riemann. Ini disebut amplitudo hamburan, dan mengkodekan probabilitas mekanika kuantum bahwa partikel akan berinteraksi satu sama lain. Dia tertarik.

Amplitudo hamburan sering bekerja dengan baik dengan momentum yang merupakan bilangan kompleks. Angka-angka ini terdiri dari bagian nyata dan bagian imajiner — kelipatan dari -1, yang oleh ahli matematika disebut Saya. Amplitudo hamburan memiliki sifat bagus di bidang kompleks. Untuk satu, mereka analitik (dapat dinyatakan sebagai rangkaian) di sekitar setiap titik kecuali satu set kutub tertentu, yang semuanya terletak di sepanjang garis.

“Itu tampak mirip dengan apa yang terjadi dengan nol fungsi zeta Riemann, yang semuanya tampak berada dalam satu garis,” kata Remmen. “Jadi saya berpikir tentang bagaimana menentukan apakah kesamaan yang tampak ini adalah sesuatu yang nyata.”

Fungsi zeta memetakan semua titik berwarna ke nol. Nol non-sepele (merah) semua tampaknya terletak pada garis di mana komponen nyata dari angka sama dengan . Kredit gambar: Grant Remmen, Harrison Tasoff

Kutub amplitudo hamburan sesuai dengan produksi partikel, di mana peristiwa fisik terjadi yang menghasilkan partikel dengan momentum. Nilai setiap kutub sesuai dengan massa partikel yang dibuat. Jadi itu adalah masalah menemukan fungsi yang berperilaku seperti amplitudo hamburan dan yang kutubnya sesuai dengan nol non-sepele dari fungsi zeta.

Dengan pena, kertas, dan komputer untuk memeriksa hasilnya, Remmen mulai merancang sebuah fungsi yang memiliki semua properti yang relevan. “Saya memiliki ide untuk menghubungkan fungsi zeta Riemann dengan amplitudo di benak saya selama beberapa tahun,” katanya. “Begitu saya mulai menemukan fungsi seperti itu, saya membutuhkan waktu sekitar satu minggu untuk membangunnya, dan sepenuhnya menjelajahi propertinya dan menulis makalah membutuhkan waktu beberapa bulan.”

Sederhana sekali

Pada intinya, fungsi zeta menggeneralisasi deret harmonik:

Seri ini meledak hingga tak terbatas ketika x 1, tetapi konvergen ke bilangan aktual untuk setiap x > 1.

Pada tahun 1859 Bernhard Riemann memutuskan untuk mempertimbangkan apa yang akan terjadi ketika x adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut, sekarang menyandang nama Riemann zeta, mengambil satu bilangan kompleks dan mengeluarkan bilangan kompleks lainnya.

Riemann juga memutuskan untuk memperluas fungsi zeta ke angka di mana komponen nyata tidak lebih besar dari 1 dengan mendefinisikannya dalam dua bagian: definisi yang sudah dikenal berlaku di tempat-tempat di mana fungsi berperilaku, dan definisi implisit lainnya mencakup tempat-tempat di mana ia biasanya akan meledak. hingga tak terhingga.

Berkat teorema dalam analisis kompleks, matematikawan tahu hanya ada satu formulasi untuk area baru ini yang dengan mulus mempertahankan sifat-sifat fungsi aslinya. Sayangnya, belum ada yang bisa merepresentasikannya dalam bentuk dengan banyak istilah yang terbatas, yang merupakan bagian dari misteri seputar fungsi ini.

Mengingat kesederhanaan fungsi, itu harus memiliki beberapa fitur yang bagus. “Namun, sifat-sifat itu akhirnya menjadi sangat rumit untuk dipahami,” kata Remmen. Misalnya, ambil input di mana fungsinya sama dengan nol. Semua bilangan genap negatif dipetakan ke nol, meskipun ini jelas — atau “sepele” seperti yang dikatakan ahli matematika — ketika fungsi zeta ditulis dalam bentuk tertentu. Apa yang membingungkan para matematikawan adalah bahwa semua nol non-sepele lainnya tampaknya terletak di sepanjang garis: Masing-masing memiliki komponen nyata dari .

Fungsi zeta mengubah garis abu-abu dari gambar sebelumnya menjadi kurva ini. Masing-masing titik merah adalah titik di mana kurva ini melewati titik asal (0,0).
Kredit gambar: Grant Remmen, Harrison Tasoff

Riemann berhipotesis bahwa pola ini berlaku untuk semua nol non-sepele ini, dan tren telah dikonfirmasi untuk beberapa triliun pertama dari mereka. Yang mengatakan, ada dugaan yang bekerja untuk triliunan contoh dan kemudian gagal pada jumlah yang sangat besar. Jadi matematikawan tidak bisa memastikan hipotesis itu benar sampai terbukti.

Tetapi jika itu benar, hipotesis Riemann memiliki implikasi yang luas. “Untuk berbagai alasan, itu muncul di semua tempat dalam pertanyaan mendasar dalam matematika,” kata Remmen. Postulat dalam bidang yang berbeda seperti teori komputasi, aljabar abstrak, dan teori bilangan bergantung pada hipotesis yang berlaku. Misalnya, membuktikannya akan memberikan penjelasan yang akurat tentang distribusi bilangan prima.

Analog fisik

Amplitudo hamburan yang ditemukan Remmen menggambarkan dua partikel tak bermassa yang berinteraksi dengan bertukar kumpulan partikel masif yang tak terbatas, satu per satu. Fungsi tersebut memiliki kutub — titik di mana ia tidak dapat dinyatakan sebagai deret — yang sesuai dengan massa setiap partikel perantara. Bersama-sama, kutub tak terbatas berbaris dengan nol non-sepele dari fungsi zeta Riemann.

Apa yang dibangun Remmen adalah komponen utama dari interaksi. Ada jauh lebih banyak yang masing-masing menjelaskan aspek interaksi yang lebih kecil dan lebih kecil, menggambarkan proses yang melibatkan pertukaran beberapa partikel masif sekaligus. “Amplitudo tingkat loop” ini akan menjadi subjek pekerjaan di masa depan.

Hipotesis Riemann menyatakan bahwa nol non-sepele fungsi zeta semuanya memiliki komponen nyata dari . Menerjemahkan ini ke dalam model Remmen: Semua kutub amplitudo adalah bilangan real. Ini berarti bahwa jika seseorang dapat membuktikan bahwa fungsinya menggambarkan teori medan kuantum yang konsisten — yaitu, di mana massa adalah bilangan real, bukan imajiner — maka hipotesis Riemann akan terbukti.

Formulasi ini membawa hipotesis Riemann ke dalam bidang sains dan matematika yang lain, satu bidang dengan alat yang ampuh untuk ditawarkan kepada para ahli matematika. “Tidak hanya ada hubungan ini dengan hipotesis Riemann, tetapi ada seluruh daftar atribut lain dari fungsi zeta Riemann yang sesuai dengan sesuatu yang fisik dalam amplitudo hamburan,” kata Remmen. Misalnya, dia telah menemukan identitas matematis yang tidak intuitif terkait dengan fungsi zeta menggunakan metode dari fisika.

Karya Remmen mengikuti tradisi peneliti yang mencari fisika untuk menjelaskan kesulitan matematika. Misalnya, fisikawan Gabriele Veneziano mengajukan pertanyaan serupa pada tahun 1968: apakah fungsi beta Euler dapat ditafsirkan sebagai amplitudo hamburan. “Memang bisa,” Remmen berkomentar, “dan amplitudo yang dibuat Veneziano adalah salah satu amplitudo teori string pertama.”

Remmen berharap untuk memanfaatkan amplitudo ini untuk mempelajari lebih lanjut tentang fungsi zeta. “Fakta bahwa ada semua analog ini berarti ada sesuatu yang terjadi di sini,” katanya.

Dan pendekatan itu membuka jalan untuk kemungkinan membuktikan hipotesis berusia berabad-abad. “Inovasi yang diperlukan untuk membuktikan bahwa amplitudo ini memang berasal dari teori medan kuantum yang sah akan, secara otomatis, memberi Anda alat yang Anda butuhkan untuk sepenuhnya memahami fungsi zeta,” kata Remmen. “Dan itu mungkin akan memberimu lebih banyak juga.”

Sumber: UC Santa Barbara